（３４）歯車と曲線

2008.9.9 07:56

　日常生活で見慣れた曲線が、意外な形で歯車の設計に利用されている例を見てみましょう。

　図１は歯車の一部を拡大したもので、噛（か）み合っているどの歯についても、うまい具合に１点だけが接触しています。ただし、これは断面図なので、正確には直線で接触しているというべきかもしれません。スムーズに回転する歯車の歯形を決める曲線は、数学的にきちんと計算したものでなければなりません。では、どんな曲線がいいのでしょうか。

　これには、歯車が次の２つの性質を満たす必要があります。第１は噛み合っている２つの歯がいつも１点で接触することです。これは前述の通りです。第２は歯車の回転につれて、その接点が滑らか（連続的）に移動していくことです。

　この２つの性質を満たすと、一方の歯車から他方の歯車へスムーズに力が伝わっていくのです。この性質を満たす曲線として、いくつかのものが考えられますが、インボリュート曲線とサイクロイド曲線はその代表です。面白いことに、この２つの曲線は日常生活のなかでも頻繁に見ることができます。

　まず、図２のように、円形の糸巻きから、糸をピンと引っ張りながら、糸をゆっくりほどいていきます。すると、糸の先端は図２のような曲線を描きます。これがインボリュート曲線で、これを図３のように利用すれば、立派な歯車ができます。これはインボリュート歯車と呼ばれるもので、鉛筆削り器やパソコンのプリンターなどに見られます。

　次に、走っている自転車がガムを踏むと、タイヤに張り付いたガムは図４のような曲線を描きます。これがサイクロイド曲線で、やはり立派な歯車になります。これはサイクロイド歯車と呼ばれるもので、主に時計などに利用されています。（東海大教育開発研究所長）

（３３）高校野球とポアソン分布

2008.9.2 07:08

　今年は北京五輪の影響で、甲子園の高校野球の影が薄くなってしまった気がします。それでも、日々熱戦が繰り広げられ、数多くのヒーローも誕生し、多くの感動をもたらしたことは例年と変わりません。今回はこの高校野球大会の結果を素材にしましょう。

　「どんな混沌（こんとん）とした世界の中にも、何らかの秩序が潜んでいる」ことを示唆する理論の一つに「ポアソン分布」があります。ポアソン分布は「めったに起こらないこと」、例えば１年間に馬に蹴（け）られて死ぬ兵士の数、年間に地震などの災害がやって来る回数などを予測しているのです。

　夏の甲子園には全国の地区大会を勝ち抜いた５５校が出場しました。１試合行うと１校が敗退するので１回戦から決勝戦まで合計５４回の試合が行われたことになります。各試合における逆転および勝ち越しの合計数（この数を“逆転数”と呼ぶことにします）を調べてみました。ただし、先制点は勝ち越しとはみなさないものとします。表１は智弁学園と近江の得点表ですが、ここでは３イニングに近江の逆転があり、７イニングに智弁の勝ち越しがあり逆転数は２。手に汗握るシーソーゲームほど、この数が大きいことになります。５４試合のそれぞれについて逆転数を求め、まとめたものが表２です。ちなみに、逆転数が４の試合は清峰と東邦の対戦だけでした。

　ポアソン分布の式で計算して、得られた理論値を表２の右欄に示しました。この表をみると、実際の逆転数を的確に予測していることに気が付くはずです。

　しかし、この理論では、この例のように全体の状況を予測することはできても、ある特定の試合において何回の逆転があるのかを予測することはできません。（東海大教育開発研究所長）

（３２）古代エジプト人のパンの分け方

2008.8.26 07:50

　先日、小学生から「この式はどんな意味か？　７１０×５　１／２＝０．１４１」と出題されました。マジに考えていたら、「ナット－・カケ・ゴハン・ワ・オイシイだよ。テレビでお笑い芸人がやってた」と大そう得意げ。この小学生に「分数は好きか」と尋ねると、「大嫌い」と即座に返ってきました。

　分数は、紀元前１６５０年ごろに書かれた古代エジプトの数学書リンド・パピルスにも登場しています。たとえば、何とも不思議なことに、分子が２で分母が奇数の分数が、分子が１の異なる分数（単位分数という）の和の形で記述されているのです。すなわち２／５＝１／３＋１／１５、２／７＝１／４＋１／２８…２／１０１＝１／１０１＋１／２０２＋１／３０３＋１／６０６。

　なぜ、わざわざ単位分数の和の形で表していたのか？　本当のところは定かではありませんが、“古代エジプト人のパンの分け方”に起因しているのではないかという説があります。

　たとえば、４個のパンを５人で平等に分けるとしましょう。１人分は４÷５＝４／５　ですが、エジプト人は次の手順に従って分けたそうです。

（１）同じ量のパン片が５個以上になるように、まず４個のパンそれぞれを２等分して、同じ量（１／２）のものを８個つくる。５人がそれぞれ１／２の量を１つ分ずつ取る（図１）。（２）余った１／２の量の３個のパン片をそれぞれを２等分して、６個の同じ量（１／４）のパン片をつくる。５人のそれぞれが１つ分（１／４）ずつ取る（図２）。（３）余った１／４の量を５等分し、５人が１つ分（１／２０＝１／４×１／５）ずつ取ると余りはゼロ（図３）。（４）毎回、５人は同じ分量ずつ取ったので、５人の分け前はみんな同じで、１人分の量は１／２＋１／４＋１／２０と表せる（図４）。

すなわち、この分配の手順に従えば、４／５＝１／２＋１／４＋１／２０と必ず単位分数の和で表せるというわけです。

　さて、パピルスに記述されている分数以外の分数についても、異なる単位分数の和の形で表せるでしょうか？　この疑問は、現在に至っても未解決なのです。（東海大教育開発研究所長）

（３１）最適停止の理論

2008.8.12 07:22

　サイコロを１回または２回投げ、最後に出た目の大きさを競う賭けをすることにします。「１回目に４以上の目が出たら、そこで止める。３以下の目の場合、もう一度トライする」という戦略で、この賭けに臨むとしましょう。すると、あなたは結果的に４．２５［＝３／６×３．５＋１／６（４＋５＋６）］を獲得でき、平均３．５（各目の合計を６で割った値）を０．７５上回ることができます。

　この確率の考え方を応用した理論に「最適停止の理論」があります。面接試験での採用のしかたを例にとり、解説しましょう。

　ある会社で社員１人を募集することになりました。１０人の応募者があったので、１日に１人ずつ１０日にわたって面接試験を行うことにしました。なるべく点数の高い人を採用したいのですが、面接直後に採否を本人に伝えなければならないとします。

１０人全員を面接した後に最高点の１人を採用するのがベストですが、面接直後に採否を相手に伝えるという制約のため、上手な戦略を立てなければなりません。

　失敗例をあげれば、最初に来た８５点の人を採用したが、実は後から面接予定の人の中に９０点以上の人が続出した。逆に、後の方で面接する人の中に良い点数の人が来るだろうと期待し、初めの方で面接した人を次々と断ってしまったが、段々点数が低くなり、むしろ、初めの方の人を採用しておけばよかった、など。

　上述のサイコロの賭けと同様な考え方で（複雑な）計算をすると、以下の最適な採用戦略が得られます。

（１）最初の３人までは、点数を記録するだけで採用しない。

（２）４、５番目に面接した人は、それぞれそこまでの中で最高点ならば採用する。

（３）６、７番目に面接した人は、それぞれそこまでの中で２位以内ならば採用する。

（４）８番目に面接した人は、そこまでの中で３位以内ならば採用する。

（５）９番目に面接した人は、そこまでの中で５位以内ならば採用する。

（６）１０番目に面接した人は、その人しか残っていないので必ず採用する。

　この戦略に従うと、平均が２．５５となります。すなわち、平均して２位か３位の人を採用できることになります。

　この理論は、お見合いなどにも応用可能です。グッドラック。（東海大教育開発研究所長）