（３６）アキレスと亀

2008.9.30 07:59

　北野武監督の最新映画「アキレスと亀」が公開されています。映画は、芸術への夢をあきらめきれない画家の物語ですが、タイトルの「アキレスと亀」は数学の有名なパラドックスから付けられたものです。

　紀元前４５０年ごろに活躍した古代ギリシャの哲学者、ゼノンは、“俊足のアキレスは先を行く鈍足の亀に永遠に追いつけない”というパラドックスを次のように力説しています。「アキレスが前方にいる亀を追いかけ始める。アキレスが、亀がもともといたところに着いたとき、亀はその間にわずかだが歩みを進めアキレスより前を歩いている。次にアキレスが、再び亀のいた位置に着いたとき、亀はその位置より少しだけ前に進んでいる。さらに…。これが永遠に繰り返されるのだから、アキレスは永遠に亀に追いつくことはできない」という説です

ゼノンのこの説明のどこがおかしいのでしょうか。　私が今まで聞いた中で、数学者、矢野健太郎先生の説明が一番明快だったので、それを紹介しましょう。

　アキレスは１００メートルを１０秒（１０メートル／秒）、亀はその１／１０の速さ（１メートル／秒）とし、１００メートル前にいる亀を追いかけるとします。すると、２人の距離は１秒間に１０－１＝９メートルずつ縮まるので、実際には、アキレスは亀に１００÷９＝１００／９秒後に追いつきます。

　一方、ゼノンの言い分は「アキレスが１００ｍ進むと亀はそのとき１０ｍ先にいる。アキレスが１０ｍ進むと亀は１ｍ前にいる。さらに１メートル進むと…。だから、アキレスは永遠に亀に追いつけない」というものです。ゼノンの説明では距離に着目していますが、時間の方に目を向けてみると次のようになります。

　「アキレスが１　０　０　メートル進むのに１０秒を要す。さらに１０メートル進むのに１秒を要し、さらに１メートル進むの０．１秒…。よって、この無限に続くプロセスにかかる時間は、１０＋１＋０．１＋０．０１＋０．００１＋…。これは無限等比級数の和の公式から、■＝１００／９秒である」

　すなわち、ゼノンの言っていることは、　秒未満の状況を描写しているにすぎず、アキレスが亀に永遠に追いつけないという証明にはなっていないのです。（東海大教育開発研究所長）

（３５）交通渋滞と待ち行列

2008.9.23 08:56

　先日、新幹線に乗り遅れてしまいました。チケット購入の際、みどりの窓口で予想以上の時間を要したからです。多くの人が窓口に殺到すると、対応が遅れて行列ができます。窓口の個数に応じて、どのくらい人が並び、どのくらい待たされるかを解明するのが「待ち行列理論」です。この理論が威力を発揮する事象が日常生活の中にたくさんあります。

　例えば、スーパーマーケットのレジや駅の改札口、込み合う道路の車線、高速道路の料金所、飛行機の離着陸や交通信号、多数のエレベーターの昇降など。今回は、交通渋滞について解説しましょう。

　道路交通を考えるとき、基本になるのは車の交通量です。まず、場所と時間をどこかに決めて、そこを通過する車の台数を数えます。これが、その地点の交通量ｑです。この交通量が多くなると、快適な速度で走ろうとしても、ほかの車に邪魔されて思い通りに走れません。こうして速度は必然的に低下します。

　図１はこの関係を示したもので、横軸は交通量、縦軸は走行速度です。ただし簡単にするため、道路は１車線としました。例えば時速９０キロで走りたいとき、ほかに車が１台もなければ、その速度で走れます。これが左端の縦軸の値で、右に進むにつれて速度は次第に低下します。交通量が１６００台くらいで５５キロとなり、１７００台くらいで完全に停止してしまいます。これがその道路の交通容量です。実際の交通量と交通容量との比を「トラフィック密度」と呼び、待ち行列理論ではｐで表します。このことから、ｐが１未満でないと道路は完全なまひ状態になってしまいます。

　では、ｐが１未満なら順調かというと、そんなことはありません。車はいつも同じ状態で走るとは限らないので、その揺らぎが影響し、ｐが１近くでは自動車が何台も数珠つながりになり、俗にいう団子状態が起こります。図２はそれを示したもので、ｐが１に近づくにつれて、団子の台数が急速に増えることが見てとれます。正確には、１からｐを引いた値を交通量の「余裕度」と呼び、交通渋滞の起こりやすさは余裕度に反比例することが分かっています。

　このことを考慮して、高速道路への車の入場を制限するのです。（東海大教育開発研究所長）

（３４）歯車と曲線

2008.9.9 07:56

　日常生活で見慣れた曲線が、意外な形で歯車の設計に利用されている例を見てみましょう。

　図１は歯車の一部を拡大したもので、噛（か）み合っているどの歯についても、うまい具合に１点だけが接触しています。ただし、これは断面図なので、正確には直線で接触しているというべきかもしれません。スムーズに回転する歯車の歯形を決める曲線は、数学的にきちんと計算したものでなければなりません。では、どんな曲線がいいのでしょうか。

　これには、歯車が次の２つの性質を満たす必要があります。第１は噛み合っている２つの歯がいつも１点で接触することです。これは前述の通りです。第２は歯車の回転につれて、その接点が滑らか（連続的）に移動していくことです。

　この２つの性質を満たすと、一方の歯車から他方の歯車へスムーズに力が伝わっていくのです。この性質を満たす曲線として、いくつかのものが考えられますが、インボリュート曲線とサイクロイド曲線はその代表です。面白いことに、この２つの曲線は日常生活のなかでも頻繁に見ることができます。

　まず、図２のように、円形の糸巻きから、糸をピンと引っ張りながら、糸をゆっくりほどいていきます。すると、糸の先端は図２のような曲線を描きます。これがインボリュート曲線で、これを図３のように利用すれば、立派な歯車ができます。これはインボリュート歯車と呼ばれるもので、鉛筆削り器やパソコンのプリンターなどに見られます。

　次に、走っている自転車がガムを踏むと、タイヤに張り付いたガムは図４のような曲線を描きます。これがサイクロイド曲線で、やはり立派な歯車になります。これはサイクロイド歯車と呼ばれるもので、主に時計などに利用されています。（東海大教育開発研究所長）

（３３）高校野球とポアソン分布

2008.9.2 07:08

　今年は北京五輪の影響で、甲子園の高校野球の影が薄くなってしまった気がします。それでも、日々熱戦が繰り広げられ、数多くのヒーローも誕生し、多くの感動をもたらしたことは例年と変わりません。今回はこの高校野球大会の結果を素材にしましょう。

　「どんな混沌（こんとん）とした世界の中にも、何らかの秩序が潜んでいる」ことを示唆する理論の一つに「ポアソン分布」があります。ポアソン分布は「めったに起こらないこと」、例えば１年間に馬に蹴（け）られて死ぬ兵士の数、年間に地震などの災害がやって来る回数などを予測しているのです。

　夏の甲子園には全国の地区大会を勝ち抜いた５５校が出場しました。１試合行うと１校が敗退するので１回戦から決勝戦まで合計５４回の試合が行われたことになります。各試合における逆転および勝ち越しの合計数（この数を“逆転数”と呼ぶことにします）を調べてみました。ただし、先制点は勝ち越しとはみなさないものとします。表１は智弁学園と近江の得点表ですが、ここでは３イニングに近江の逆転があり、７イニングに智弁の勝ち越しがあり逆転数は２。手に汗握るシーソーゲームほど、この数が大きいことになります。５４試合のそれぞれについて逆転数を求め、まとめたものが表２です。ちなみに、逆転数が４の試合は清峰と東邦の対戦だけでした。

　ポアソン分布の式で計算して、得られた理論値を表２の右欄に示しました。この表をみると、実際の逆転数を的確に予測していることに気が付くはずです。

　しかし、この理論では、この例のように全体の状況を予測することはできても、ある特定の試合において何回の逆転があるのかを予測することはできません。（東海大教育開発研究所長）