因数分解について

（４０）組み合わせ表

2008.11.4 08:09 

　プロ野球のペナントレースで、どのチームにも日程的に有利、不利のない対戦表を作成するのは意外と難しいものです。しかし、数学の理論を駆使すれば、首尾良く対戦表をつくれます。そのような２例を紹介しましょう。

　将棋部の６人の生徒が５日間にわたって、将棋の対戦を行うとしましょう。どの生徒も各日１人の相手を選び、対戦します。５日間、どの生徒も自分以外のすべての部員と対戦する組み合わせ表を作るには次のようにすればよいのです。

　各日、６人の生徒が２人ずつペアを組み、３組に分かれて対戦することになります。そこで、６人の生徒に１～６まで番号を振り分け、おのおのを白点で表し、円周の５等分点にそれぞれ１～５を、また、中心を６とします。次に、対戦する２人を表す点同士を線分で結びます。図１（ａ）は、１と６、２と５、３と４がペアを組んだことを意味します。例えば、この組み合わせを１日目の対戦表とし、２日目は、１日目の対戦表を１／５周だけ回転させます＝図１（ｂ）。３回目以降も同様に前日の対戦表を１／５周だけ回転すれば、ニーズをみたす５日間の対戦表を作ることができます＝表。

次に、１９世紀半ばに英国の数学者、カークマンが提起した有名な問題について考えてみましょう。

　「あるクラスに１５人の生徒がいる。このクラスは、毎日、３人ずつで１組の班を作り、全員で野外の観察に出かける。以後７日間、毎日、一度同じ班になったどの２人も二度と同じ班に入らないように班分けするには、どのようにしたらよいか」

　先ほどと同様に、１５人の生徒をそれぞれ点で表し、図２のように二重の同心円周上にそれぞれ７点ずつ、中心（１５）に１点、合計１５点を配置します。次に、１５点を４個の三角形と１つの３点から成る線分に分割します。このように分割すると、１／７周ずつ回転しても、元の位置に戻るまで同じ線分が現れることはありません。よって、図２の同じ三角形または線分に属する３点を１班とみなすことにより、１５人の１日分の班分けができ、さらに、この図を１／７周ずつ回転することにより、７日分の班分けが求められます。（東海大教育開発研究所長）

（３９）監視カメラの有効な設置方法とは

2008.10.28 08:17

　最近、マンションやショッピングセンターなどで監視カメラの設置が増えてきています。防犯のため、不審者の出入りをチェックし、他人から見えない死角をなくすためには監視カメラを設置することが有効ですが、設置には経費もかかります。そこで、「なるべく少ない監視カメラで、店内全体を見渡せるようにするためにはどうすればよいか」を論じた数学の理論があります。

　図１は、ある店の平面図です。この九角形のいくつかの隅（頂点）に監視カメラを設置して、店内のどの場所も見渡せるようにしたいとします。監視カメラは３６０度回転し、遮る壁がない限り、どの地点も監視できるものとします。例えば、頂点Ａにカメラを設置すれば、図１の色のついた部分を監視できます。この平面図をもつ店では、カメラ２台をどの頂点に設置したとしても死角が生じてしまいます。しかし、例えば、３つの頂点Ｂ、Ｄ、Ｇの位置に１台ずつカメラを設置すれば、店内全体を見渡すことができます。

　実は、「どんな複雑な形をした店でも、その平面図がｎ角形ならば、たかだかｎ／３台（割り切れないときは小数点以下を切り捨てる）のカメラを適切な位置に設置しさえすれば、店内全体を見渡すことができる」ということを証明する定理があります。証明の骨子は次の通りです。

　（１）ｎ角形Ｐの頂点同士を線分で結び（図２の点線）、Ｐの内部を三角形に分割する（合計ｎ－２個の三角形に分割される）。

　（２）ｎ－２個の三角形のいずれについても、その３頂点が異なる色（すなわち、点線、実線の両端点が異色）になるように、赤、青、黄の３色いずれかの色でｎ個の頂点すべてに色をつける。

　（３）赤、青、黄のそれぞれの出現回数を数え、その回数が一番少ない色のついた頂点にカメラを設置する。

　図２の十二角形の場合、黄色が３回で最少です。一般に最少の出現回数は、平均の出現回数であるｎ／３以下である。よって、黄色の頂点にカメラを設置すれば全体が見渡せることになります。（東海大教育開発研究所長）

（３８）とっても便利な三角形

2008.10.21 08:04

　世界のナベアツのおかげで３の倍数は一躍脚光を浴びましたが、三角形の方はその実力のわりに注目度はイマイチです。そこで今回は、三角形が他の図形、特に多角形の基本になっていることを紹介しましょう。

　三角形と一言でいっても、千差万別、無数に異なる形がありますが、どの３角形でもその３つの角を寄せ集めれば、例外なく１８０度になることは周知の事実です。この性質から、どんな形の三角形もその形のコピーをたくさん使って、平面を敷きすき間なく詰めることができます。

　ここで、三角形の面積の復習をしておきましょう。同じ形の三角形を２つ合わせると、平行四辺形になります。平行四辺形の面積＝底辺×高さだから、三角形の面積はその半分、すなわち底辺×高さ÷２です。

　この事実を使えば、どんな多角形、例えば四角形、五角形、六角形…も、それらの内角の和や面積を簡単に求めることができます。そのためには、多角形に対角線を引いて、いくつかの三角形に分解すればよいのです。

　例えば、図２の十角形は頂点同士を結ぶ対角線（図２の波線）を勝手に引くことによって、８個の三角形に分割できます。一般に、どんなｎ角形も対角線を引いて、ちょうどｎ－２個の三角形に分解できます。このことから、ｎ角形の内角の合計は１８０度×（ｎ－２）であることが分ります。一方、ｎ－２個の三角形それぞれの面積が求められるので、それらをすべて加え合わせれば、どんなｎ角形の面積も求めることができます。それどころか、円を直角三角形に変身させ、円の面積を求めることもできます。

　図３のように、半径ｒとする円を何重もの布で巻いた年輪状の物体と見なします。中心から直下に切り込みを入れ、点Ｐの左側部分を時計回りに大きく移動させ、点Ｐを点Ｐ′に移します。するとこの円は、底辺ＰＰ′＝２πｒ、高さ＝ｒの直角三角形に変身します。このことから、円の面積の公式π●＝２πｒ×ｒ÷２が導けるのです。（東海大教育開発研究所長）　　　

●＝ｒの二乗

（３７）球の詰め込み

2008.10.7 08:21

　「横５センチ、縦８センチの長方形の中に、直径１センチの円を最大何個詰め込むことができるか」。これは、１９５０年代に出版されたパズルの本にも載っている問題です。図１のように規則正しく詰め込むと４０個です。ところが、図２のようにすれば、円は４１個詰め込めます。図１では円の中心が正方形状に並ぶ配置をしています。一方、図２では円の中心が正三角形状に並ぶ配置になっています。実は、“円の中心が正三角形状に並ぶ配置”が、円を一番効率的に詰め込む方法だということが２０世紀前半に証明されているのです。

　これを３次元（空間）に拡張すると、「同じ大きさの球を空間に詰め込むための最密な配置は何か」という問題になります。この問題について、ドイツの天文学者、ケプラーが「どの球の周りにも１２個の球が囲む配置で空間を埋め尽くした場合が答えだ」と１６１１年の冊子に、証明を書かずに記述しました。ケプラーはザクロの種子の観察によってヒントを得たそうです。

　ザクロの実の中にたくさん入っている種子は、球形をした小さい種子が大きくなるにつれ、互いに押し合いへし合いを始めます。その結果、最密な状態をつくり１個の種が１２個に囲まれる配置になったというのです。すなわち、図３で、１個の球の周りに６個の球が取り囲み、さらに上下から３カ所のくぼみに球が入り込んだ配置となっています。

　この主張が正しいか否かをめぐって、その後４００年近く、数学者たちの挑戦が続きました。ついに１９９８年、米国のヘールズによって、コンピューターで調べあげるという力ずくの方法で、ケプラーの主張が正しいことが証明されました。

“限られた空間にできるだけたくさんのものを詰め込む”という最密充填（じゅうてん）問題の応用が、各分野で研究されています。特に、通信分野では顕著でした。例えば、ひとつの信号をある空間の中の１点で表せるとしましょう。信号同士の距離が近いと誤読率が高まります。信号の誤読率を低く抑えるために信号の間隔が最低１ミリ必要だとしましょう。すると、“１辺１０センチの立方体にできるだけ多くの信号を表す点を配置する”問題は、この立方体に直径１ミリの球をなるべく多く詰め込む”という数学上の問題に置き換えられます。

　現在、３次元どころか、もっと高い次元において球の詰め込み問題が研究され、通信工学の分野で著しい成果が上げられています。（東海大教育開発研究所長）