（３８）とっても便利な三角形

2008.10.21 08:04

　世界のナベアツのおかげで３の倍数は一躍脚光を浴びましたが、三角形の方はその実力のわりに注目度はイマイチです。そこで今回は、三角形が他の図形、特に多角形の基本になっていることを紹介しましょう。

　三角形と一言でいっても、千差万別、無数に異なる形がありますが、どの３角形でもその３つの角を寄せ集めれば、例外なく１８０度になることは周知の事実です。この性質から、どんな形の三角形もその形のコピーをたくさん使って、平面を敷きすき間なく詰めることができます。

　ここで、三角形の面積の復習をしておきましょう。同じ形の三角形を２つ合わせると、平行四辺形になります。平行四辺形の面積＝底辺×高さだから、三角形の面積はその半分、すなわち底辺×高さ÷２です。

　この事実を使えば、どんな多角形、例えば四角形、五角形、六角形…も、それらの内角の和や面積を簡単に求めることができます。そのためには、多角形に対角線を引いて、いくつかの三角形に分解すればよいのです。

　例えば、図２の十角形は頂点同士を結ぶ対角線（図２の波線）を勝手に引くことによって、８個の三角形に分割できます。一般に、どんなｎ角形も対角線を引いて、ちょうどｎ－２個の三角形に分解できます。このことから、ｎ角形の内角の合計は１８０度×（ｎ－２）であることが分ります。一方、ｎ－２個の三角形それぞれの面積が求められるので、それらをすべて加え合わせれば、どんなｎ角形の面積も求めることができます。それどころか、円を直角三角形に変身させ、円の面積を求めることもできます。

　図３のように、半径ｒとする円を何重もの布で巻いた年輪状の物体と見なします。中心から直下に切り込みを入れ、点Ｐの左側部分を時計回りに大きく移動させ、点Ｐを点Ｐ′に移します。するとこの円は、底辺ＰＰ′＝２πｒ、高さ＝ｒの直角三角形に変身します。このことから、円の面積の公式π●＝２πｒ×ｒ÷２が導けるのです。（東海大教育開発研究所長）　　　

●＝ｒの二乗