（４０）組み合わせ表

2008.11.4 08:09 

　プロ野球のペナントレースで、どのチームにも日程的に有利、不利のない対戦表を作成するのは意外と難しいものです。しかし、数学の理論を駆使すれば、首尾良く対戦表をつくれます。そのような２例を紹介しましょう。

　将棋部の６人の生徒が５日間にわたって、将棋の対戦を行うとしましょう。どの生徒も各日１人の相手を選び、対戦します。５日間、どの生徒も自分以外のすべての部員と対戦する組み合わせ表を作るには次のようにすればよいのです。

　各日、６人の生徒が２人ずつペアを組み、３組に分かれて対戦することになります。そこで、６人の生徒に１～６まで番号を振り分け、おのおのを白点で表し、円周の５等分点にそれぞれ１～５を、また、中心を６とします。次に、対戦する２人を表す点同士を線分で結びます。図１（ａ）は、１と６、２と５、３と４がペアを組んだことを意味します。例えば、この組み合わせを１日目の対戦表とし、２日目は、１日目の対戦表を１／５周だけ回転させます＝図１（ｂ）。３回目以降も同様に前日の対戦表を１／５周だけ回転すれば、ニーズをみたす５日間の対戦表を作ることができます＝表。

次に、１９世紀半ばに英国の数学者、カークマンが提起した有名な問題について考えてみましょう。

　「あるクラスに１５人の生徒がいる。このクラスは、毎日、３人ずつで１組の班を作り、全員で野外の観察に出かける。以後７日間、毎日、一度同じ班になったどの２人も二度と同じ班に入らないように班分けするには、どのようにしたらよいか」

　先ほどと同様に、１５人の生徒をそれぞれ点で表し、図２のように二重の同心円周上にそれぞれ７点ずつ、中心（１５）に１点、合計１５点を配置します。次に、１５点を４個の三角形と１つの３点から成る線分に分割します。このように分割すると、１／７周ずつ回転しても、元の位置に戻るまで同じ線分が現れることはありません。よって、図２の同じ三角形または線分に属する３点を１班とみなすことにより、１５人の１日分の班分けができ、さらに、この図を１／７周ずつ回転することにより、７日分の班分けが求められます。（東海大教育開発研究所長）