（３７）球の詰め込み

2008.10.7 08:21

　「横５センチ、縦８センチの長方形の中に、直径１センチの円を最大何個詰め込むことができるか」。これは、１９５０年代に出版されたパズルの本にも載っている問題です。図１のように規則正しく詰め込むと４０個です。ところが、図２のようにすれば、円は４１個詰め込めます。図１では円の中心が正方形状に並ぶ配置をしています。一方、図２では円の中心が正三角形状に並ぶ配置になっています。実は、“円の中心が正三角形状に並ぶ配置”が、円を一番効率的に詰め込む方法だということが２０世紀前半に証明されているのです。

　これを３次元（空間）に拡張すると、「同じ大きさの球を空間に詰め込むための最密な配置は何か」という問題になります。この問題について、ドイツの天文学者、ケプラーが「どの球の周りにも１２個の球が囲む配置で空間を埋め尽くした場合が答えだ」と１６１１年の冊子に、証明を書かずに記述しました。ケプラーはザクロの種子の観察によってヒントを得たそうです。

　ザクロの実の中にたくさん入っている種子は、球形をした小さい種子が大きくなるにつれ、互いに押し合いへし合いを始めます。その結果、最密な状態をつくり１個の種が１２個に囲まれる配置になったというのです。すなわち、図３で、１個の球の周りに６個の球が取り囲み、さらに上下から３カ所のくぼみに球が入り込んだ配置となっています。

　この主張が正しいか否かをめぐって、その後４００年近く、数学者たちの挑戦が続きました。ついに１９９８年、米国のヘールズによって、コンピューターで調べあげるという力ずくの方法で、ケプラーの主張が正しいことが証明されました。

“限られた空間にできるだけたくさんのものを詰め込む”という最密充填（じゅうてん）問題の応用が、各分野で研究されています。特に、通信分野では顕著でした。例えば、ひとつの信号をある空間の中の１点で表せるとしましょう。信号同士の距離が近いと誤読率が高まります。信号の誤読率を低く抑えるために信号の間隔が最低１ミリ必要だとしましょう。すると、“１辺１０センチの立方体にできるだけ多くの信号を表す点を配置する”問題は、この立方体に直径１ミリの球をなるべく多く詰め込む”という数学上の問題に置き換えられます。

　現在、３次元どころか、もっと高い次元において球の詰め込み問題が研究され、通信工学の分野で著しい成果が上げられています。（東海大教育開発研究所長）