（３６）アキレスと亀

2008.9.30 07:59

　北野武監督の最新映画「アキレスと亀」が公開されています。映画は、芸術への夢をあきらめきれない画家の物語ですが、タイトルの「アキレスと亀」は数学の有名なパラドックスから付けられたものです。

　紀元前４５０年ごろに活躍した古代ギリシャの哲学者、ゼノンは、“俊足のアキレスは先を行く鈍足の亀に永遠に追いつけない”というパラドックスを次のように力説しています。「アキレスが前方にいる亀を追いかけ始める。アキレスが、亀がもともといたところに着いたとき、亀はその間にわずかだが歩みを進めアキレスより前を歩いている。次にアキレスが、再び亀のいた位置に着いたとき、亀はその位置より少しだけ前に進んでいる。さらに…。これが永遠に繰り返されるのだから、アキレスは永遠に亀に追いつくことはできない」という説です

ゼノンのこの説明のどこがおかしいのでしょうか。　私が今まで聞いた中で、数学者、矢野健太郎先生の説明が一番明快だったので、それを紹介しましょう。

　アキレスは１００メートルを１０秒（１０メートル／秒）、亀はその１／１０の速さ（１メートル／秒）とし、１００メートル前にいる亀を追いかけるとします。すると、２人の距離は１秒間に１０－１＝９メートルずつ縮まるので、実際には、アキレスは亀に１００÷９＝１００／９秒後に追いつきます。

　一方、ゼノンの言い分は「アキレスが１００ｍ進むと亀はそのとき１０ｍ先にいる。アキレスが１０ｍ進むと亀は１ｍ前にいる。さらに１メートル進むと…。だから、アキレスは永遠に亀に追いつけない」というものです。ゼノンの説明では距離に着目していますが、時間の方に目を向けてみると次のようになります。

　「アキレスが１　０　０　メートル進むのに１０秒を要す。さらに１０メートル進むのに１秒を要し、さらに１メートル進むの０．１秒…。よって、この無限に続くプロセスにかかる時間は、１０＋１＋０．１＋０．０１＋０．００１＋…。これは無限等比級数の和の公式から、■＝１００／９秒である」

　すなわち、ゼノンの言っていることは、　秒未満の状況を描写しているにすぎず、アキレスが亀に永遠に追いつけないという証明にはなっていないのです。（東海大教育開発研究所長）